前面道路が私道で、持分はありますが、通行・掘削許可の同意書は得られていません。どのようなリスクがありますか？

持分があれば、基本的に掘削通行許可がなくてもお互い様で通行は問題なく、掘削も問題にならないことが多いです。ただ、過去に共有持分者と何かトラブルがあると対応が難しいこともあるので、過去にトラブルがないか仲介さん経由で売主様に確認しておきましょう。