購入確度がまだ高くないうちは敢えて伝える必要はないと思います。融資担当者が個人信用情報を見に行くと審査を依頼していることは伝わりますが、常に良い物件がないか探していると伝えておけば特に違和感はでないと思います。
一方、個人名義もしくは法人名義で購入で連帯保証人に入ったあと(金消契約後)に個人情報をほかの金融機関が確認に行くとほかに融資を受ける予定、もしくは受けていることが伝わります。
この前提で行くと法人で融資を受ける際には決算書を出すまでほかで融資を受けて物件を購入しているか伝わることはなく、きこりも決算書を出して報告を兼ねています。これまで大きな問題になったことはありません。
実際に購入することが決まってくると伝えるタイミングは難しく、それによって決まっている融資が流れてしまう可能性もあり、きこりであれば具体的に聞かれるまでは伝えないと思います。基本的に、決済が終了したのちにほかの銀行に融資打診する場合には伝えるというスタンスで大きな問題ないかと思っています。