点検口などから床下に入り、溜まった水を排水、拭き上げして送風機などを入れて空気の循環をすることで乾燥させることが一般的と思います（湿気が多い物件は常に送風機が稼働している場合もあります）。その後にカビを防ぐ防カビ剤を散布する場合もあります。

費用相場は実施する面積次第ですが、漏水部分のみであれば、5-10万円程度と思います。

(内訳：漏水の排水・拭き上げ作業(半日から長くて1日)、その後の送付機設置(1～2日はつけっぱなしにする)、後日状態の確認、撤収。場合によって薬の塗布で実質2-3人日の仕事。1人日2.5～3万円程度とすると、5-9万円程度になると思います。

火災保険を申請する場合は、契約次第ですが、2022年10月に大手損害保険会社の火災保険は全て復旧義務が課せられており、申請した工事を実際に施工する必要があると認識しています。それ以前の火災保険契約には復旧義務はなく、問われることもないと認識しています。

なお、保険金が降りる前に先に修繕工事を行なった場合、緊急対応として修繕すること自体は許容されると思います。ただし、申請個所以外の修繕(今回の場合申請内容は床下の乾燥で、例えば配管の修繕を保険金が下りる前に実施した場合など)については、保険金を修繕費に使ったと見做してもらえないと思います。（ここは保険会社の判断なのでヤモリでは回答できず、代理店などに相談しましょう。）