頑張って審査を進めても契約に結びつかないと思われて今後の審査の優先度を下げられたり、最悪審査自体を断られてしまう可能性も無きにしも非ずと思います。
担当者や支店長が変わるとリセットされる場合もありますが、取引履歴が残るのが通例でそこに残ってしまうと今後の融資は難しいと思います。
最初にほかの金融機関にも見てもらっていると伝えるのは従前どおり必ず必要ですが、融資内諾を得た際に正直に他行でももう少しで結果が出るので申込・最終審査を待ってもらいたい旨説明し、申込するのは1つの金融機関にする方が無難と思います。